Метод следов: как построить сечение куба
Построим сечение куба шаг за шагом. Листай вниз, и построение будет появляться на 3D-фигуре
ЗадачаДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка M лежит на ребре AA₁, N - на ребре BB₁, P - на ребре C₁D₁. Построй сечение куба плоскостью MNP.
Крути куб пальцем или мышкой
Условие
Посмотри, где стоят точки. M и N лежат на передней грани ABB₁A₁, а P - на ребре C₁D₁, то есть на верхней и на задней грани. Общей грани у P ни с M, ни с N нет. Треугольник MNP прошёл бы сквозь куб, поэтому сразу его не замкнуть.
Шаг 1. Соединяем M и N
M и N лежат в одной грани ABB₁A₁, значит отрезок MN целиком лежит и в этой грани, и в секущей плоскости. Это первая сторона сечения.
Шаг 2. Первый след: точка X
След можно искать на любой грани, где уже есть точка сечения. P лежит на верхней грани, поэтому ищем след там. Прямые MN и A₁B₁ лежат в одной плоскости ABB₁A₁ и не параллельны, значит пересекаются. Продлим обе за точки N и B₁ и отметим точку пересечения X. Она лежит на MN, то есть в секущей плоскости, и на A₁B₁, то есть в плоскости верхней грани. Это и есть след прямой MN.
Шаг 3. След XP на верхней грани
Теперь у секущей плоскости и плоскости A₁B₁C₁D₁ две общие точки: X и P. Значит прямая XP - след секущей плоскости на верхней грани. Она пересекает ребро B₁C₁ в точке K. K и N лежат в грани BCC₁B₁, поэтому NK - сторона сечения. K и P лежат на верхней грани, поэтому KP - тоже сторона.
Шаг 4. Второй след: точка Y
Осталась левая грань AA₁D₁D: на ней есть точка M, но для прямой нужна вторая. Продлим след XP до пересечения с прямой A₁D₁ - обе лежат в плоскости верхней грани. Получим точку Y, общую для секущей плоскости и плоскости грани AA₁D₁D.
Шаг 5. Находим Q
M и Y лежат в плоскости грани AA₁D₁D. Прямая MY пересекает ребро DD₁ в точке Q, и MQ - ещё одна сторона сечения.
Шаг 6. Сечение готово
P и Q лежат на задней грани DCC₁D₁, соединяем их, и сечение замкнулось: MNKPQ - пятиугольник. Проверка без вычислений: PQ ∥ MN и NK ∥ MQ, ведь противоположные грани куба параллельны, а секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым.
Алгоритм метода следов
Тот же разбор в четырёх действиях. Их хватает почти для любого сечения многогранника.
- Соедини точки одной грани. Найди две точки сечения, лежащие в одной грани. Отрезок между ними - первая сторона сечения.
- Найди след. Выбери грань, где уже есть другая точка сечения, чаще всего это основание. Продли прямую до пересечения с ребром, общим для её грани и выбранной. Точка пересечения - след.
- Проведи след плоскости. След и та точка сечения лежат в одной плоскости. Прямая через них отметит на рёбрах новые вершины сечения.
- Повторяй до замыкания. Каждая новая вершина даёт новую пару точек на одной грани, и построение идёт дальше.
Пересекать можно только прямые, лежащие в одной плоскости. Две прямые из разных граней могут оказаться скрещивающимися и не пересечься вовсе.
Проверь себя
Два вопроса по разбору. Ответы с объяснением появятся сразу.
Теперь построй сам
Куб ABCDA₁B₁C₁D₁. K и L - середины рёбер AB и BC, точка M на ребре DD₁, DM : MD₁ = 3 : 2. Построй сечение куба плоскостью KLM.
Подсказка
Начни с прямой KL: обе точки лежат в основании. Продли её до пересечения с прямыми AD и CD - это следы. Каждый след соедини с M в плоскости своей боковой грани.
Откроется в Telegram за пару секунд, без установки. Строишь на 3D-модели сам, Slicy проверит построение
Что такое след секущей плоскости
Точки сечения часто лежат на разных гранях, и соединить их напрямую нельзя. Метод следов решает это тремя повторяющимися действиями: соединить точки одной грани, продлить прямую до следа на соседней плоскости и от следа достроить остальное.
Сечение многогранника - это многоугольник, по которому плоскость разрезает фигуру. Стороны сечения лежат на гранях, а вершины - на рёбрах.
След секущей плоскости - прямая, по которой она пересекает плоскость какой-нибудь грани, чаще всего плоскость основания. Главное слово здесь «плоскость»: след почти всегда выходит за пределы самой грани, поэтому рёбра приходится продлевать. Точку, где прямая из секущей плоскости встречает плоскость грани, тоже называют следом, или точкой следа.
Две аксиомы, на которых держится метод
- Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Поэтому соединять можно только точки одной грани: отрезок между ними сразу будет стороной сечения.
- Если две плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой. Найди две общие точки секущей плоскости и плоскости грани, и у тебя есть след целиком.
Отсюда главная ошибка новичков: соединять любые две точки сечения. Если точки лежат на разных гранях, отрезок между ними проходит внутри фигуры и стороной сечения не является.
Частые ошибки
- Соединяют точки с разных граней. Такой отрезок уходит внутрь фигуры и стороной сечения не является.
- Пересекают прямые из разных граней. MN и B₁C₁ в нашем разборе скрещиваются и не пересекутся, как их ни продлевай. Пересекать можно только прямые одной плоскости.
- Ищут след только на основании. След ищут на той грани, где уже есть точка сечения. В разборе это верхняя грань, и построение от этого не меняется.
- Ищут след внутри грани. След лежит в плоскости, а не в квадрате грани. Точки X и Y в разборе лежат вне куба, и это нормально.
- Забывают про видимость. Стороны сечения на невидимых гранях рисуют штрихом, иначе по чертежу невозможно понять, где фигура, а где сечение.
Когда метод следов не работает
Если прямая из сечения параллельна плоскости основания, следа на основании у неё нет: продлевать можно бесконечно. Тогда ищи след на другой грани или переходи к методу параллельных прямых. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым, поэтому сторону сечения на противоположной грани проводят параллельно уже найденной.
В сложных задачах методы комбинируют. В нашем разборе так тоже можно было сделать: сторону PQ сразу провести параллельно MN, не строя точку Y.
Вопросы
Что такое след секущей плоскости?
Это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость одной из граней многогранника, чаще всего плоскость основания. Чтобы её провести, достаточно двух общих точек этих плоскостей. Точку, где прямая из секущей плоскости пересекает плоскость грани, называют точкой следа
Чем метод следов отличается от метода параллельных прямых?
Метод следов ищет точки пересечения прямых с плоскостью грани и поэтому работает почти всегда. Метод параллельных прямых опирается на то, что параллельные грани секущая плоскость пересекает по параллельным прямым: если на одной из таких граней уже есть сторона сечения, на другой проводят параллельную ей. Часто удобнее их комбинировать
Что делать, если прямая параллельна основанию?
Тогда у неё нет следа на основании. Ищи след на другой грани, которую эта прямая пересекает, или используй параллельность: сторона сечения на противоположной грани будет параллельна этой прямой
Нужен ли метод следов на ЕГЭ?
Да. В задаче по стереометрии из второй части профильного ЕГЭ часто сначала нужно построить сечение, а уже потом доказывать что-то про него или искать площадь, угол и расстояние. Метод следов - самый универсальный способ это построение получить