Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью MNP: разбор по шагам

Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью MNP

Задача. Дан тетраэдр SABC. Точка M лежит на ребре SA, точка N - на ребре SC, точка P - на ребре AB. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Кстати, задачи с такой же фигурой со 2 по 18 октября перенесли в Slicy 365 учеников

С чего начать

Сторона NM

N и M лежат и на грани SAC, и в секущей плоскости. Отрезок между ними и есть сторона сечения.

Сторона MP

M и P лежат и на грани SAB, и в секущей плоскости. Отрезок между ними и есть сторона сечения.

Продлим NM и AC до точки T₁

Прямая NM лежит в секущей плоскости, а AC - в плоскости грани ABC. Их общая точка T₁ лежит в обеих плоскостях, через неё пройдёт след на этой грани.

Ещё 3 шага до сечения

Остальное построение Slicy покажет на 3D-фигуре, которую можно крутить пальцем. Каждый шаг можно сделать самому, а если застрял, взять подсказку

Открыть разбор в Slicy

Как решать такие задачи

Сечение тетраэдра - это многоугольник, стороны которого лежат на его гранях. Поэтому первым делом ищи пары данных точек, которые уже лежат в одной грани. Такие точки можно сразу соединить: отрезок между ними и есть сторона сечения.

Если две точки лежат в разных гранях, соединять их напрямую нельзя: такой отрезок пройдёт сквозь фигуру. Тогда помогает след. Продли сторону сечения до пересечения с прямой, которая лежит в плоскости нужной грани, чаще всего с ребром основания. Получится точка, общая для секущей плоскости и плоскости этой грани.

Через эту точку и данную точку на той же грани проходит след секущей плоскости. Там, где след пересекает рёбра, лежат новые вершины сечения. Когда все стороны найдены, многоугольник замыкается, и у тетраэдра это всегда треугольник или четырёхугольник.

Подробно этот приём разобран в статье «Метод следов» на примере куба.